［坡仔跟你一起阅读好书·第九十六期］《X的奇幻之旅》Part 4 变化——第二十一章 向量微积分：带人类走向现代化的使者
世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。
辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。
数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。
在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......
虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。
［美］史蒂夫·斯托加茨◎著
［中］鲁冬旭◎译
第二十一章 向量微积分:带人类走向现代化的使者
迪卡西奥先生是我的高中老师，他严厉又不好相处，戴着一副古板的黑框眼镜，说话方式尖酸刻薄。我想很少有人会觉得这样一位先生具有魅力，但我觉得迪卡西奥先生对物理学的热情就很令人着迷。
有一天，我告诉迪卡西奥先生，我正在读爱因斯坦的传记。书中写道:“爱因斯坦上大学的时候，他觉得麦克斯韦的电磁方程组非常令人头晕。”我对迪卡西奥先生说，我真想赶快多学一些数学知识，这样我就能看懂麦克斯韦电磁方程组了。
我就读的学校是一所寄宿学校，当时我正和迪卡西奥先生同坐在一张餐桌前吃晚饭，同桌吃饭的还有迪卡西奥先生的太太和两个女儿，以及另外几位学生。当我说上述这段话时，迪卡西奥先生正在给我们盛土豆泥。一听到“麦克斯韦方程组”这几个字，迪卡西奥先生立刻扔下勺子，拿起一张餐巾纸就在上面奋笔疾书地写了起来。他画下一些线条，又写出一些神秘的符号。迪卡西奥先生一边写，一边嘴里还念念有词地说着:“旋度的旋度等于散度的梯度减去拉普拉斯平方......”
当时我心想，迪卡西奥先生在念叨什么呀。长大以后我明白了，他说的内容其实是向量微积分。向量微积分是数学的一个分支，专门用来描述我们周围那些看不见的“场”:让指北针指向北方的磁场，让你坐的椅子落在地上而不是飘在空中的重力场，把你的晚餐炸得像核武器爆炸现场的微波场.....
向量微积分最大的成就是，它把数学和现实空前紧密地结合了起来。麦克斯韦的故事以一种奇怪的方式，彰显了数学在解释自然方面的简直不可言喻的无穷威力。仅仅是改变了几个符号的位置，麦克斯韦就破解了一个困扰人类已久的问题:光究竟是什么?
为了让大家更好地了解麦克斯韦究竟做了些什么，以及搞清楚什么是向量微积分，首先让我们一起研究一下“向量”这个词。“向量”(vector)一词来自拉丁语词根vehere,意为“携带”。我们今天所使用的“车辆”(vehicle)、“传送带”(conveyor)等英文单词也都来自同一个词根。这也是为什么vector一词除了可解释为“向量”
以外，还可以解释为“传染媒介”。对流行病学家来说，vector是病原的携带者，比如把疟疾传染给病人的蚊子就是一个vector。对数学家来说，vector则是把你从一个地方带到另一个地方的“脚步”(当然，这只是向量最简单的意思)。
看看下面这张图吧，这是一张为跳舞的人设计的舞蹈说明书，这些箭头告诉舞者，跳伦巴舞的时候，应该以什么样的顺序移动左右脚。
上图中的那些箭头就是向量。向量包含两种信息，一是方向(向什么方向迈出脚)，二是长度(这步迈出的幅度有多大)。每一个向量都含有上述两种信息。
和数字一样，向量也可以做加减法运算。但因为向量含有方向的信息，所以向量的加减法运算比数字的加减法运算要复杂一些。只要你能紧紧抓住向量的定义，把它们看作舞步的说明书，向量的加减法运算就不那么难了。比如，向东一步与向北一步的和是多少?显然，这两个向量的和应该是一个指向东北方向的向量。
神奇的是，速度与力的加减法运算和舞步的加减法运算的性质完全一样。任何模仿过桑普拉斯的正手球的网球选手都应该对这个道理有很深的体会。桑普拉斯能够一边全力向边线冲刺，一边打出直至底线、落点非常准确的正手球。在模仿桑普的时候，如果你幼稚地向你希望的落点方向击球，球就一定会落到别的地方去，因为你忘记考虑你自己的跑动速度了。球相对于场地的速度是两个向量的和:一是球相对于你的速度(一个指向你瞄准方向——底线方向——的向量)，二是你相对于场地的速度（一个指向边线的向量）。要想让球飞向底线，你瞄准的时候必须稍稍偏向场地的另一边，这样才能抵消你向场边跑动的速度。
我们上面说的这些内容都是向量代数，除了向量代数之外，还有向量微积分。我的高中老师迪卡西奥先生在餐巾纸上写的就是向量微积分。前文中我们已经说过，微积分是描述变化的数学。所以，不管向量微积分到底是什么东西，它肯定包括两个元素，一个是向量，另一个是变化。这种变化可以是时间方面的，也可以是空间方面的，后者我们称之为“向量场”。
向量场最经典的例子是一块磁铁附近的磁场。为了看到这个隐形的场，我们可以把磁铁放在一张纸上，然后在纸上撒些铁屑。每一个铁屑就像一个小小的指北针，只不过它们指的不是地球的“北”，而是由当地磁场决定的“北”。在这张纸上，铁屑会形成一种特殊的图案，那就是一条条从磁铁的一极指向另一极的磁场线。
在一个磁场中，向量的大小和方向都各不相同。就像之前介绍的微积分一样，要度量这种变化，我们需要用到导数。在向量微积分中，导数的运算符号叫作del,这个词念起来仿佛带着亲切的美国南方口音。实际上，del的来源是希腊字母△(代尔塔，在数学中这个字母一般用来表示一个变量的“变化”)，为了表示这种亲缘关系，在向量微积分中del被记作▽，这个倒三角就是迪卡西奥先生在餐巾纸上写下的神秘符号。
使用del这一运算符号，求向量的导数有两种方法，这两种方法都很自然。第一种方法给出的是场的“散度”，“散度”这个词也在迪卡西奥先生的“咒语”中出现过。散度究竟是什么呢，请看下图的向量场。这张图描述了水流如何从左侧的水源流入右侧的水槽。
之前我们曾用铁屑来追踪磁场这种向量场，现在让我们想象水面上飘着很多小木片或是小树叶，这样我们就可以通过观察这些小木片或小树叶的排列，来判断水流在每一个点上的流动情况。假如我们在水源的周围把小木片排成一个小圈，那么这些小木片会怎么运动呢?显然，因为水会从水源流向四周，所以水源周围的小木片会分散开来，这个小圈会扩散变大。小木片“散”开了，“散开的程度”越大，圆圈扩散变大的速度也就越快。而这个小圆圈扩散变大的速度，就是这个向量场的“散度”。
下图描绘的是这个向量场在各个点上的散度数值:散度是通过灰度的深浅来表示的。明亮的区域是散度为正的区域，暗沉的区域是散度为负的区域(散度为负说明，如果在此处摆出一个木片围成的小圆圈，那么这个小圆圈会收缩变小)。
向量微积分的另一种导数形式，是向量场的“旋度”。粗略地说，旋度度量的是向量场在一个给定点的卷曲程度有多强。回想一下天气预报里卫星气象图上的台风或者热带风暴旋转卷曲的样子，在一个向量场里，如果一个区域看起来像云图里的台风，那就说明这个区域的旋度非常大。
就像之前用明暗来描绘散度一样，我们同样可以用明暗来描绘旋度。明亮的部分表示旋度为正，暗沉的部分表示旋度为负。旋度的信息还告诉我们水流究竟是朝顺时针方向旋转还是朝逆时针方向旋转。
旋度的概念对于研究流体力学和空气动力学的科学家们来说非常有用。几年前，我的同事王简用电脑模拟了蜻蜓在空中悬停时身体周围的气流情况。通过计算向量场的旋度，王简发现当蜻蜓扇动翅膀的时候，它的翅膀下面会形成若干对反向的气流旋涡，这些气旋就像一些小型的龙卷风一样。正是这些迷你龙卷风产生的升力让蜻蜓得以悬停在空中不落下来。向量微积分使我们能够理解蜻蜓、熊蜂和蜂鸟的飞行原理，这些问题光靠传统的固定翼空气动力学是无法解决的。
了解了散度和旋度的概念以后，我们现在可以向麦克斯韦方程组进发了。麦克斯韦方程组表达了电磁学的4条基本定律，一是电场的散度，二是电场的旋度，还有两条分别是磁场的散度和旋度。散度方程式描述电磁场和电磁场源的关系，电磁场源是指产生电磁场的带电粒子或电流。而旋度方程式则描述电磁场如何随着时间变化以及如何相互作用。通过这4个方程式，麦克斯韦向我们揭示出一个完美的对称关系:一个磁场随时间变化的速率与另一个磁场随空间变化的速率（磁场随空间变化的速率就是旋度）是相互关联的。
在麦克斯韦的时代，向量微积分还未被发明，但是，通过运用与向量微积分极为类似的数学技巧，麦克斯韦推导出了上述4个方程式的逻辑推论。通过以某种方式改变一些符号的顺序，麦克斯韦推导出电磁场是以波的形式传播的、就像池塘水面的涟漪慢慢地传向远方。但是，电磁场的传播方式很特别，电场和磁场就像一对互利共生的有机体一样，互相维系着对方的存在。电场的变化产生磁场，磁场的变化又产生新的电场，如此反复不竭。电生磁，磁生电，电场和磁场就这样携手前进。缺了任何一方，另一方都将无法进行传播。
电磁波就这样被发现了!这当然是一个突破性的发现，但是更精彩的发现还在后面。通过已知的电和磁的性质，麦克斯韦计算出了这种刚被发现的“假想”波的传播速度。推导方程式显示，电磁波的传播速度是每秒193000英里，而这是大约10年前法国物理学家伊波利特·菲佐才测出的光速!
我多么希望我能早出生100多年，可以亲眼见证这个光辉而伟大的时刻:经过不懈的努力，人类终于第一次认识了光的真正性质!通过发现电磁波，麦克斯韦把自古以来一直困扰人类的3种神秘力量统一了起来。麦克斯韦告诉我们:电、磁和光，这3种看似毫无联系的自然现象，其实都有着相同的本质。虽然之前的一些实验物理学家，如法拉第和安培等人也或多或少地找到了一些线索，但只有麦克斯韦凭借他手中的数学武器，第一次真正地解开了这道旷古谜题。
如今，我们的现代化生活已经被麦克斯韦发展的电磁波所包围：收音机、电视机、手机、无线网络……这些都是麦克斯韦的符号戏法所创造的传奇。