［坡仔跟你一起阅读好书·第九十三期］《X的奇幻之旅》Part 4 变化——第十八章 积分谱成的优雅数学变奏曲

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第十八章 积分谱成的优雅数学变奏曲

       对普通人来说，数学中用到的符号往往都显得很神秘。我觉得最好的数学符号是那些一眼就能看出含义的符号。比如零(0)、一(1)和无穷大(~)的符号就非常巧妙。0就像一个空洞，1是孤零零的一个符号，无穷大的符号一看起来则像一个神秘的永无止境的环。等号(=)是由两根等长的平行线构成的。等号的发明人、威尔士数学家罗伯特·雷科德表示:“再没有两个东西能比这两条平行线更相似的了。"

       在微积分的内容中，最具标志性的符号是积分符号:

       这个优雅修长的形状，让人想起高音谱号和小提琴音孔的形状。这个符号真是再贴切不过了，数学中一些最迷人的和声正是由积分谱出的。可惜的是，实际上，当年德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨选中这个符号的原因根本没有这么诗意，他只是把“求和”(summation)一词的首字母s拉长了一些而已。

       ​什么是求和呢?那就要联系上下文了。在天文学知识中，太阳对地球引力的总和是用积分来描述的。我们知道，太阳是由很多个原子组成的，每一个原子到地球的距离各不相同，这个积分表示每个太阳原子对地球微小引力的加总。在肿瘤学中，一个固态肿瘤质量的增加可以用积分来模拟，化疗过程中药物的积累过程也可以用积分来表示。

       这些东西的求和有什么特殊之处呢?为什么我们不用小学就学过的加法运算来求和，而要发明一个新工具，也就是积分呢?为了回答这个问题，我们先来看看为了计算太阳对地球的引力，我们到底要面对哪些困难和挑战。第一个问题是、太阳并不是一个点，地球也不是一个点。地球和太阳是两个巨大的球体，它们都是由极大量的原子构成的。太阳的每个原子都在吸引着地球的每个原子。当然因为原子的引力非常小，一个原子对另一个原子的引力小得几乎可以忽略不计。但是，因为星球所含的原子总量大得难以想象，所以总体的引力是颇为可观的。我们需要求出这个总体的引力和。

       除了这个问题，我们还面临第二个更严峻的挑战，那就是不同原子之间的引力的大小不同。有的原子之间的引力大，有的原子之间的引力小。为什么会这样呢?因为引力是随距离的变化而变化的。两个原子靠得越近，它们之间的引力就越大。太阳最远端和地球最远端的原子之间的相互作用力较小，而近端原子之间的引力则要大一些，还有一些不远不近位置上的原子，它们之间的引力是适中的。这些各不相同的作用力无法用普通的加法运算来加总，必须用积分才能求和。多么神奇!这么复杂棘手的求和问题居然是可解的，至少在一定条件下是可解的。如果我们假设太阳和地球都是实心球体，两者都是由无穷多点的连续物质构成的，而且每一点都对其他点产生一个极小的引力，在这些假设之下，我们可以用积分计算出太阳对地球的引力。在这个问题中，无穷和极限的理念又一次拯救了我们。

       在数学的历史上，积分最产生于几何学领域，发明积分是为了计算曲线围成的面积。在第16章中我们提到过，圆可以像比萨一样被切成很多小块。在极限的情况下，一个圆可以被等分成无限多个小块，每一块的面积无限小。这些小块可以被万妙地拼成一个长方形，而且长方形的面积非常容易计算。通过这样的方法，我们求出了圆的面积。这是积分的一种典型的用法:把一个复杂的东西进行无数次分割，最终使其容易加总。

       除了这种二维的切割法，阿基米德还使用过这种方法的三维升级版，他以此来计算各种实心几何体的体积(在阿基米德之前，另一位希腊数学家欧克多索在公元前400年左右就做过类似的事情了)。阿基米德的方法是这样的:把实心几何体想象成是一堆盘子、一摞华夫饼，或者是一根切成很多薄片的香肠。因为几何体是不规则的，每一片香肠的大小不尽相同，通过计算这些大小不一的薄片的体积，再把它们巧妙地加总起来，不规则几何体的体积就计算出来了。

       今天，我们仍然用这些经典的几何学问题来磨炼小数学家和小科学家们的积分技能。这些题目是积分学家庭作业中最难的，很多学生对它们恨之入骨。但是，要想让这些未来的物理工作者、金融工作者们学好他们日后每天都要用到的积分知识，实在没有比解决经典几何题目更好的工具了。

       其中一道经典的难题是这样的:两个一模一样的圆柱体垂直相交，形成厨房里的排气管交界处那样的形状。试求这个几何体的体积。

       ​光是在脑中想出这个三维几何体的样子，就已经难倒很多天才了。承认自己智商方面的不足并不丢人，我们可以想个办法做出这个模型来。你可以尝试一下我的高中数学老师所用的方法:找一个易拉罐，用专门切割金属的工具切去易拉罐的顶部，这样就得到一个圆柱体的模子。然后，找到一个巨大的土豆，或者一块发泡胶，从两个垂直的方向分别用模子切出圆柱体。这个天才的艺术作品足够你赏玩一段时间了。

       幸运的是，如今的电脑图像技术使得我们可以更轻松地看到这个几何体的样子。

       神奇的是，虽然这个几何体是由两个圆柱体组成的，但它们的交界部分却是方形的。

       我们可以在头脑中把这个东西切成无数层，每一层都是像华夫饼一样薄的正方形。中间的正方形最大，向上逐渐变小，向下也逐渐变小，到顶部和底部的时候变为一个点。

       搞清楚这个几何体是什么形状，只是解题的第一步，下面，我们将面临一个更大的挑战:计算出它的体积。根据前面的思路，我们应该试图求出每一个正方形小薄片的体积，再把它们加总起来。阿基米德做到了这一点，虽然他没有积分这个工具，但他凭借惊人的智商克服了这一难题。阿基米德的方法是:借助天平和重力的帮助，为待求体积的几何体称重，天平的一端放体积未知的几何体，另一端放一个体积容易求出的物体。这个方法虽然看起来很高明，却也有着明显的缺点，那就是适用范围太窄，毕竟世界上的形状太多，很多时候我们根本找不到可以放在天平另一端的物体。

       在接下来长达19个世纪的漫长时间里，这样的问题继续困扰着世界各地最优秀的数学家们。直到17世纪中叶，詹姆斯·格雷戈里、伊萨克·巴罗、艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨终于建立了我们今天所熟知的“微积分基本定理”。微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算——导数(度量某一点上变化的速率，参见第17章的内容)和积分(度量变化累积后的总体效果)之间的关系。通过明确这两者之间的关系，很多以前计算不了的积分现在可以计算了，而且计算积分的过程和方法也变得有章可循。有了这一定理，积分计算几乎变成了一种无须太多创造力的机械劳动，今天我们可以用电脑程序来完成积分运算，普通的学生也可以比较轻松地学会积分运算。有了微积分基本定理，上面提到的那个求解厨房排气管交界处形状的几何体的体积问题就变成了学生们的习题，要知道，在此之前这可是一个困扰大量著名数学家的世界级难题。

       在微积分和微积分基本定理问世之前，人们只能分析和处理最简单的变化问题。当一个物体发生稳定的变化，也就是变化速率为常数时，代数就能很好地解决问题。“距离等于速度乘以时间”，就是变化速率为常数的例子。比如说，一辆车以每小时60英里的速度匀速行驶，那么显然这辆车1小时的时间能行驶60英里，2个小时的时间能行驶120英里，以此类推。

       但是，如果变化的速率不是常数呢?要是变化的速率自己也会变化，该怎么办?这种情形在现实世界比比皆是:从高楼上掉下来的物体是不断加速的，涨潮落潮和洋流运动都不是匀速的，星体在椭圆轨道上的运行速度是变化的，我们体内的生物钟也是时快时慢的。对于这些速率非恒定的变化，只有微积分才能度量出它们积累下来的总体效果。

       在阿基米德身后近2000年的时间里，度量变速变化的总体累积效果只有一个办法:把整体切成很多小块，然后一块一块地加总起来。对其中的每一个小块，我们必须假设它的变化速度是恒定的，再使用类似“距离等于速度乘以时间”的方法解决这一小块的问题。然后，我们不断地重复这个过程，把每一个小块都处理完。很多时候，即使付出艰苦的努力，问题也无法解答，因为无限加总是一件非常困难的事情。

       当微积分基本定理产生后，很多这类问题一下子就迎刃而解了。当然，也不是说所有问题都变得可解，但很大一部分这类问题确实变得容易解了。微积分基本定理给出了很多常见函数(如幂函数的和、幂函数的乘积、指数函数、对数函数、三角函数等)，很多自然界的现象都可以用这些常见的函数来描述。有了微积分基本定理，人类一下子往前迈出了一大步。

       微积分基本定理的内容到底是什么呢，为什么它如此有用?我想用一个比喻来回答这个问题，希望这个比喻能给你一个形象的认识(这个比喻是由我的一位同事、纽约大学的查理·佩斯金想出来的)。想象一个楼梯:从楼下到楼上的总高度变化等于各级台阶高度的加总。即便这个楼梯的台阶是不均匀的，有的台阶高一些、有的台阶矮一些，从楼下到楼上的总高度变化仍然应该等于各级台阶高度的加总。想知道这个总高度是多少，有两种办法，一是计算出每级台阶的高度再加总，二是直接计算出楼梯最高点和最低点的高度差。

       微积分基本定理其实就是说了一个简单的道理，只不过对象不是楼梯，而是函数。如果你把一个函数的导数从一点到另一点求积分，那么你就会得到这个函数在这两点之间的净变化。运用楼梯的比喻，函数就是每一级台阶到水平面的海拔高度，级级台阶的高度就像一个个导数，对导数求积分就像把一级级台阶的高度加总，积分的起点和终点就是楼梯的底端和顶端。

       为什么这个定理如此有用?因为求出很多个数字的和是非常困难的，当你通过切块并研究每一个小块的方法来进行加法运算，你面对的正是这样的难题。但是，如果你能找到对应的楼梯——换句话说，如果你能找到一个关于楼梯高度的函数，并且这个函数每个台阶的高度正好等于你要加总的这些数字——那么积分运算就变得非常简单了:只要用楼梯顶部的高度减去楼梯底部的高度就可以了。

       这就是微积分基本定理的好处，它极大地提高了计算的效率。正是基于这个原因，我们才会每年用这些知识难倒一批又一批的学生，逼迫他们花好几个月的时间学习如何找出这个楼梯高度的函数--这个技术的学名是“不定积分”，我们还可以把它称为求“反导数”的过程。正是因为有了这个技术，数学家们才能在这个充满变化的纷繁复杂的世界里，以更高的精度预测很多之前无法预测的东西。

       从这个角度来说，微积分是在用一种多功能切菜机般的态度来看待我们的宇宙。牛顿以及后来的数学家们发现，自然的本质就是，万物都是一小块一小块拼凑出来的。过去300年来发现的所有物理定律几乎都符合这个性质:不管是粒子的运动热和电的传导，还是空气或水的流动，都可以看作一小块一小块的。每一小块时间或空间里的情况除了受到整体的控制之外，还受到相邻小块情况的影响。

       这一发现的应用是极为深远的。自有人类历史以来，我们第一次掌握了理性预测的能力。而且，有了微积分基本定理的帮助，我们不再需要耗时费力地逐块计算，而是可以高效优质地计算。

       我想，读到这里，我们应该更新一下微积分学的口号:“重新计算，发现更优途径!”