［坡仔跟你一起阅读好书·第八十九期］《X的奇幻之旅》Part 3 形状——第十四章 圆锥的魔法：从回音廊到抛物线

       世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。

       辛普森到底有没有谋杀他的前妻?多长时间、以何种方式翻转你的床垫才会让它的磨损率最小?谷歌搜索引擎是如何找到你想要的网页的?在步入婚姻殿堂之前，你应该和多少位异性约会?不管你相不相信，数学在回答这些问题以及更多其他问题时，都扮演着至关重要的角色。

       数学是宇宙万物存在的基础，当然也包括人类，但是我们中却很少有人能很好地掌握这门通用语言，体验它的智慧、美丽和乐趣。这本启迪智慧而又妙趣横生的书旨在对专业、枯燥的数学语言进行翻译，帮助广大对数学感到恐惧、陌生或是不理解的读者，重新认识和欣赏数学之美。

       在这段从企鹅吃鱼到无穷大的数学之旅中，每一章都是一道美丽的“风景”:斑马身上的黑白条纹中的正弦波;美国《独立宣言)中欧几里得几何定理的身影;流星雨划过夜空时留下的美丽抛物线;罗密欧和朱丽叶爱情悲剧背后的微积分方程式;拆穿小布什减税计划谎言的长尾分布......

       虽然真正喜欢数学、了解数学的人为数不多，但每个人都离不开数学，相信读完这本书后，不少人会从此爱上数学，成为“数学发烧友”。

［美］​史蒂夫·斯托加茨◎著

［中］​鲁冬旭◎译

​第十四章    圆锥的魔法:从回音廊到抛物线

       回音廊是一类很有趣的声学建筑，它的内部结构通常都是某种特定形状的拱顶。纽约市的中央火车站附近有一个著名的回音廊，就在一家名为生蚝酒吧的餐厅外面。

       回音廊是约会的好地方，你可以和恋人站在人来人往的通道两侧，相距40英尺甚至更远，却仍然可以悄声低语互诉衷肠。只要站对了地方，你们俩可以清晰地听到对方说的话，而通道里的行人却完全听不见你们的对话，真是相当奇妙!

       ​为了达到这种效果，你和你的恋人需要找到回音廊的对角线，然后分别站在对角线两端的角落里，面对墙壁说话。你们所站的位置，在数学上叫作焦点，焦点是这个空间里的两个特殊的点，站在这里说话，你的声音会被集中放大，然后通过特殊弧度的墙壁和拱顶的反射，传递到你的恋人那里。

       当你在焦点位置说话时，你说话的声波会向四周传播，撞上四周的墙面并被反射。声波到达各处墙面的时间不一所以反射的时间和方向也各不一样。这些被反射的声波各行其是，混作一团、当它们传到40英尺开外的地方时，那里的人已经无法听清你所说的话了(所以，经过的路人不会听到你和你的恋人的对话)。但是，当你站在焦点处说话时，所有被墙壁反射回来的声波却会在同一时间到达另一个焦点的位置。这些声波会互相加强，你的恋人因此能够清楚地听到你的声音。

       椭圆形就有这样的聚焦性质，不过比上面的情况要简单许多。如果我们有一个内壁铺满镜子的椭圆形，这个椭圆里就会有两个特殊的点(下图中的F和F2)，它们叫作椭圆的焦点。椭圆的两个焦点有如下性质:从一个焦点发射出的任何光束都一定会被反射到另一个焦点上去。

       也许，这一切听上去并没有什么特别之处，但是这个性质真是非常神奇。只要我换几种说法来表述这一性质，你就会深刻地感受到它的神奇。

       假设有两个男孩子，名叫达斯和卢克，他们喜欢玩激光射击的游戏。激光射击游戏的场所是一个椭圆形的镜廊——一个椭圆形的厅，内壁铺面镜子。达斯和卢克约定，不许用激光直接照射对方，只能通过激光的反射来攻击对方。达斯不大懂几何学，也不熟悉光学，他提议说，不如我们一人站到一个焦点上去吧。卢克说:“好，但是你要让我开第一枪。”你是否看出来了，游戏的结果已经确定了，卢克一定会赢。因为不管卢克选择瞄准什么方向，激光一定会反射到站在另一个焦点上的达斯身上。再差的枪手也不会失手!

       如果你觉得台球游戏比激光射击更有意思，我们就再举一个打台球的例子。想象我们在一个椭圆形的台球桌上打台球，其中的一个球袋是安放在椭圆的一个焦点上的。在这个游戏中，有一种百发百中的打法，那就是:只要把球放在椭圆的另一个焦点上，不管你朝哪个方向击球，不管你打得是否准，也不管球会在桌边的哪一点反弹，最终它一定会进袋。绝对弹无虚发，是不是很神奇?

       除了椭圆形之外，抛物线或者抛物面同样有神奇的聚焦功能。抛物线和抛物面可以把平行的波全部聚焦到一个点上。利用抛物线和抛物面的这种几何学性质，我们可以用它们来放大光波、声波或其他信号。比如，有一种抛物线麦克风，可以用来收集非常难听清楚的低语，因此抛物线麦克风可以用于监控、执法、窃听等活动。抛物线麦克风还可以用来录制自然界的各种微小的声音，比如鸟的歌声、动物的叫声等，我们看到的关于大自然的精彩纪录片就是用这种方法录音的。此外，在体育比赛的转播中，抛物线麦克风也很有用，有了它我们才可以在一片嘈杂中听清教练诅咒裁判的声音。除了收集声波用的抛物线麦克风，还有用于放大无线电波的抛物线天线。你注意过没有，卫星电视的接收器和用于天文观测的大型射电望远镜都是抛物面形状的。

       把平行波集中到一点，这是很了不起的，这个过程的逆过程同样很有用。抛物线和抛物面还可以把一个点发出的波转化成一束平行的波。比如说，有时我们需要束很强的指示用光束，比如探照灯或是汽车大灯。如果只是用单个灯泡，即使灯泡的功率再大，效果往往也不理想。因为单个灯泡会使光线发散，这样大部分的光都被浪费掉了，而单一方向上的光会因此明显变弱。要解决这个问题，方法非常简单，只要把灯泡放在一个抛物面反射器的焦点上就可以了。灯泡的光线射到抛物面的银色内壁上会发生反射，抛物面会自动地把灯泡发出的所有光线都朝着一个方向平行反射，这样做会使光的强度大大增加，真是太方便、太好用了!

       在了解了椭圆和抛物线(抛物面)的聚焦功能以后，你会很自然地想到，这并不只是巧合那么简单吧?抛物线和椭圆有没有深层次的联系呢?这些曲线在更基础的层面上，到底存在什么样的关系呢?

       数学家和阴谋论者有很多共同点:他们都很多疑，尤其对一些神奇又很方便的巧合会疑心很重。好吧，这一次他们的怀疑又对了，椭圆和抛物线(抛物面)都有聚焦功能，这并非巧合，而是有原因的。这种多疑的态度在日常生活中可能会让人觉得你有妄想症，但是在数学上，多疑却是一种值得表扬的精神。在数字和图形的世界里，奇怪的巧合往往说明我们忽略了一些东西，说明我们还没有找到现象背后最本质的东西。奇怪的巧合，说明某些神秘的隐藏力量还没有被我们挖掘出来。

       让我们深入地研究一下椭圆和抛物线之间到底有哪些联系。粗略看来，这两个形状并不相似，好像没有什么关系。抛物线是拱门形状的，是不封闭的，两侧呈一种舒展开来的形态;而椭圆则是扁圆形状的，是封闭的，是收缩的。

       但是，如果我们用“法医”般的眼光来狠狠地审视椭圆和抛物线的内在性质，而不是只看它们表面的样子，就会发现这两种曲线的相似之处。这两种曲线都来自同一个曲线家族，它们之间的联系就好像兄弟姐妹的基因之间的联系一样明显。要看出这一点来，你首先要知道应该看什么。

       为了解释清楚椭圆和抛物线之间的联系，我们必须首先搞清楚它们的定义。到底什么是椭圆，什么是抛物线?

       抛物线是这样定义的:在平面内，到一个定点和一条不经过定点的定直线距离相等的点的轨迹(或集合)。这个定义非常拗口，但是其实它并不难理解，只要把这句古怪的话翻译成一幅图像，它的意思就一目了然了。我们给这个定点起名为F（F是“焦点”一词的英文首字母），给这条直线起名为L。如下图所示。

       现在，根据定义，抛物线包括所有距离点F和距离直线L一样远的点。比如，下图中的P点就满足这个条件，P点在F点的正下方，在点F和直线L间距离的中点上，所以P点显然应该在这个抛物线上。

       除了P点以外，还有很多其他的点，如P、P2等，也符合上述标准。实际上，可以说符合这个标准的点有无数个，这些点分别处于P点的左右两侧，如下图所示。

       在上图中，点P到焦点F的距离是d，到直线L的距离也是d。点P,到焦点F的距离是d，到直线L的距离也是d。点P、P2都符合抛物线的定义，还有其他无数个点也是这样，这些点共同组成了一条抛物线。

       为什么我们要把定点F称为抛物线的“焦点”呢?如果我把抛物线想象成一面弯曲的镜子，“焦点”这个词就很好理解了。抛物线的性质是(在此，我不会给出具体的证明):如果你把一束平行光线垂直照入抛物线镜内，那么所有的光线都会被反射汇集到点F上。于是，点F会立刻变成一个聚焦了强光的点，所以我们称这个点为“焦点”。

       ​如果你尝试过老式的人工日光浴，它的原理就和上述原理类似。镜子聚集起强光，几乎要把顾客的脸灼伤。曾几何时，大家是那么热爱人工日光浴，可惜的是，当时人们并不了解这种日光浴会提高皮肤癌的发病风险。

       讲述完抛物线的定义，我们再来看看椭圆的定义:椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点的轨迹。这个定义听起来也有点儿让人头晕，不过只要我们试着根据这个定义画一个椭圆，就会发现其实它一点儿也不难理解。我们需要一支铅笔、一张白纸、一块软木板、两枚大头针和一根细绳。先把白纸铺在软木板上，然后用两枚大头针把细绳的两头钉在纸上，注意不要把绳子绷得太紧。然后，用铅笔拉紧绳子，让绳子成为一条折线，如下图所示。现在，我们可以开始画椭圆了，注意绳子要时刻保持绷紧的状态。铅笔绕着两个大头针转过一整圈回到起点以后，我们就得到一条封闭的曲线，这条曲线就是一个椭圆。

       注意，上述的这种椭圆的画法严格遵照了椭圆的定义。两个大头针就是定义中所说的“两定点”。铅笔到这两个定点的距离之和始终是绳子的长度，因为绳子的长度是不变的，所以椭圆上的点到这两个定点的距离之和是一个常数。

       现在请问:这个椭圆的焦点在哪里?很显然，两个大头针的位置就是椭圆两个焦点的位置。在此，我不打算详细证明焦点的性质，但是别忘了前面提过的达斯和卢克玩激光射击的故事，还有我发明的在椭圆形桌上打台球的故事。这两个游戏里百发百中的关键，就是椭圆焦点的几何性质。

       好了，让我们再次回到我们之前的问题:为什么抛物线和椭圆都有神奇的聚焦功能?为什么只有它们有这种神奇的聚焦功能?抛物线和椭圆共同的秘密到底是什么?

       这个秘密就是:它们都是圆锥的一部分。

       什么?圆锥?你是不是觉得很意外，我们之前根本就没有提到过“圆锥”这个概念。是的，我是故意这么做的。这一切魔力背后的“黑手”正是圆锥，它始终神秘地隐藏在幕后。

       要搞清楚抛物线、椭圆与圆锥有什么关系，我们需要想象自己手持一把菜刀可以挥刀把圆锥切成一片片的。我们切圆锥的方法就像切黄瓜或者切香肠一样，斜着切，而且斜度越来越大。切圆锥的时候，如果我们完全水平地切一刀下去，那么切面会是一个圆。如下图所示。

​       而如果我们的刀倾斜一点儿，并非完全水平，那么切面就会变成一个椭圆。

       随着我们的刀越来越倾斜，切面的椭圆就会越来越窄长和细瘦。切着切着，我们会遇到一个临界点，此时刀的斜度恰好等于圆锥的坡度，切面则变成了一个抛物线。

       现在，真相大白了:抛物线其实是一个乔装打扮的椭圆，它是某种临界条件或者极限条件下的椭圆。难怪它会和椭圆一样具有神奇的聚焦功能，它们本来就有相关性。

       事实上，圆、椭圆和抛物线都属于同一个曲线家族，这个家族的名字叫作“四锥曲线”，它们是一个联系非常紧密的大家族。为什么叫作“圆锥曲线”，相信上迷内容已经说得很清楚了，因为这些曲线都是通过用一个平面切割圆锥而得到的。“锥曲线”家族里还有一个没出场的成员:如果我们的刀斜到几乎竖直的角度(角摩大于圆锥自身的坡度)，那么切出来的切面会是一个双曲线。双曲线和其他图形不太一样，它是由两条分开的曲线组成的。

       换一种表达方式，圆、椭圆、抛物线和双曲线之间的联系就会显得更加紧密，我们可以借助代数工具，用二次方程式来描述这些曲线。在代数中，这4种曲线都是如下方程的图像:

       在上述方程中，A、B、C等数字的取值决定了方程的图像是圆、椭圆、抛物线，还是双曲线。在微积分学中，这些曲线可以用于描述物体在重力作用下的运动轨迹。

       难怪行星会在椭圆轨道上靠着引力绕太阳旋转;难怪彗星穿过太阳系的轨迹有时为椭圆，有时为抛物线，有时为双曲线;难怪孩子抛出的球总是按抛物线轨迹飞向爸爸妈妈。这一切的背后，都是圆锥的魔法在起作用!

       下次接球的时候，可别忘了拆穿这个把戏。